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    划艇比赛成绩的模型解读

    2020-02-14 18:10:35 来源:365bet手机官网-365bet体育官网开户-365bet官方 浏览次数 113

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      首先我们一起来欣赏一组图片 单 人 艇 比 赛 过 程 2019/4/15 图1 2.5 数学模型 1 单 人 艇 比 赛 过 程 图2 2019/4/15 2.5 数学模型 2 双 人 艇 比 赛 过 程 图3 2019/4/15 2.5 数学模型 3 双 人 艇 比 赛 过 程 图4 2019/4/15 2.5 数学模型 4 四 人 艇 比 赛 过 程 图5 2019/4/15 2.5 数学模型 5 八 人 艇 比 赛 过 程 图6 2019/4/15 2.5 数学模型 返回 6 2.5 划艇比赛的成绩 赛艇是一种靠桨手前进的小船,分单人艇、 双人艇、四人艇、八人艇四种. 各种艇虽大小 不同,但形状相似. T. A. McMahon比较了各种 赛艇1964—1970年四次2000m比赛的最好成绩 (包括1964年和1968年的两次奥运会和两次世界 锦标赛),见表5第1至6列,发现它们之间有相 当一致的差别,他认为比赛成绩与桨手数量之 间存在着某种联系,于是建立了一个模型来解 释这种关系. 2019/4/15 2.5 数学模型 7 表5 各种艇的比赛成绩和规格 艇 种 2000m成绩t(min) 艇长 l(m) 艇宽 b(m) l/b 艇重 w0(kg) 桨手数 n 1 单人 双人 四人 八人 7.16 6.87 6.33 5.87 2 7.25 6.92 6.42 5.92 3 7.28 6.95 6.48 5.82 4 7.17 6.77 6.13 5.73 平均 7.21 6.88 6.32 5.84 7.93 9.76 0.293 0.356 27.0 27.4 21.0 30.0 16.3 13.6 18.1 14.7 11.75 0.574 18.28 0.610 2019/4/15 2.5 数学模型 8 返回 问题的提出 ? 由于各种艇虽大小不同,但形状相似。 ? 比较各种赛艇1964—1970年四次2000m比 赛的最好成绩,发现它们之间有相当一致 的差别。 ? 提出: ? 比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联系 ? ???(到底什么联系呢?) 2019/4/15 2.5 数学模型 9 问题分析 ? 赛艇前进时受到的阻力主要是艇浸没部分与水之间的摩擦 力. 艇靠桨手的力量克服阻力保持一定的速度前进桨手越 多划艇前进的动力越大。 ? 但是艇和桨手总重量的增加会使艇浸没面积加大,于是阻 力加大,增加的阻力将抵消一部分增加的动力. ? 建模目的是寻求桨手数量与比赛成绩(航行一定距离所需 时间)之间的数量规律. ? 如果假设艇速在整个赛程中保持不变,那么只需构造一 个静态模型,使问题简化为建立桨手数量与艇速之间的关 系. ? 注意到在实际比赛中桨手在极短的时间内使艇加速到最大 速度,然后把这个速度保持到终点,那么上述假设也是合 理的. 2019/4/15 2.5 数学模型 10 问题分析 分析赛艇速度与浆手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定 ? 前进动力 ~ 浆手的划浆功率 ? 前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力 前进 划浆 动力 浆手 功率 数量 艇 浸没 前进 重 面积 阻力 赛艇 速度 赛艇 速度 ? 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 ? 运用合适的物理定律建立模型 2019/4/15 2.5 数学模型 11 我们进一步分析 ? 为了分析所受阻力的情况,调查了各种艇的几何 尺寸和重量,表5第7至10列给出了这些数据. 可 以看出,桨手数n增加时,艇的尺寸l, b及艇重w0 都随之增加,但比值l/b和w0/n变化不大. ? 若假定l/b是常数,即各种艇的形状一样,则可得 到艇浸没面积与排水体积之间的关系. 若假定w0/n 是常数,则可得到艇和桨手的总重量与桨手数之 间的关系. 此外还需对桨手体重、划桨功率、阻力 与艇速的关系等方面作出简化且合理的假定,才 能运用合适的物理定律建立需要的模型. 2019/4/15 2.5 数学模型 12 模型假设 ? 1. 各种艇的几何形状相同,l/b为常数;艇 重w0与桨手数n成正比. 这是艇的静态特性. ? 2. 艇速v是常数,前进时受的阻力f与sv2成 正比(s是艇浸没部分面积). 这是艇的动态特 性. ? 3. 所有桨手的体重都相同,记作w;在比赛 中每个桨手的划桨功率p保持不变,且p与w 成正比. 返回 2019/4/15 2.5 数学模型 13 模型假设分析 ? 假设1是根据所给数据作出的必要且合理的 简化. 根据物理学的知识,运动速度中等大 小的物体所受阻力f符合 ? 假设2中f与sv2成正比的情况. ? 假设3 中w, p为常数属于必要的简化,而p 与w成正比可解释为:p与肌肉体积、肺的 体积成正比,对于身材匀称的运动员,肌 肉、肺的体积与体重w成正比. 2019/4/15 2.5 数学模型 14 模型构成 · ? 有n名桨手的艇的总功率np与阻力f和速度v的乘积 成正比,即 ? np∝fv (1) ? 由假设2, 3, ? f ∝sv2, p∝w代人(1)式可得 v∝(n/s)1/3 (2) 由假设1,各种艇几何形状相同,若艇浸没面积s与艇的 某特征尺寸c的平方成正比(s∝c2),则艇排水体积A必 与c的立方成正比(A∝c3),于是有 s∝A2/3 (3) 2019/4/15 2.5 数学模型 15 模型构成 ? 又根据艇重w0与桨手数n成正比,所以艇和桨手的总重量w = w0+nw 也与n成正比,即 ? w ∝n (4) ? 而由阿基米德定律,艇排水体积A与总重量w 成正比,即 ? A∝w (5) ? (3), (4), (5)式给出 ? s∝n2/3 (6) ? 将(6)代入(2)式,当w是常数时得到 ? v ∝n1/9 (7 ) ? 因为比赛成绩t(时间0与)v成反比,所以 ? t ∝n-